试题分析:(Ⅰ)求曲线在一点处的切线方程,一要抓切点(1,2),一要抓导数的几何意义即切线的斜率

,便求出切线方程

;(Ⅱ)先利用极值求出系数

,再利用

及定义域

,求出单调递增区间为

;(Ⅲ)利用导数求某区间上的最值,要综合应用极值、单调性进行判定求解,特别对

的形式、

的根进行分类讨论.多见于单调函数、单峰(谷)函数.
试题解析:(Ⅰ)函数

的定义域为

, 因为

,所以

当

时,

,

,所以

,

所以曲线

在点

处的切线方程为

,即

. 3分
(Ⅱ)因为

在

处有极值,所以

, 由(Ⅰ)知

,所以

经检验,

时

在

处有极值. 4分
所以

,令

,解得

或

;
因为

的定义域为

,所以

的解集为

,
即

的单调递增区间为

. 6分
(Ⅲ)假设存在实数

,使

在区间

上有最小值3,由

,
① 当

时,

,

在

上单调递减,

,解得

,舍去. 8分
②当

即

时,

在

上单调递减,在

上单调递增,

,解得

,满足条件. 10分
③ 当

即

时,

,
所以

在

上单调递减,

,解得

,舍去.
综上,存在实数

,使

在区间

上的最小值是3. 12分