Question

20．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（4-x），且当x≥2时，f（x）=4^x+2^x-6，则f（x）在区间[0，4]上的最大值与最小值分别为（　　）

• A． 266，14
• B． 256，14
• C． 256，-$\frac{21}{4}$
• D． 266，-4

Answer 1

分析 根据函数的对称性可得函数的对称轴为x=2，问题转化为函数f（x）在[2，4]上的最值，设2^x=t，t∈[4，16]，根据函数的单调性即可求出函数的最值．

解答 解：∵f（x）=f（4-x），
∴函数的对称轴为x=2，
∴f（x）在区间[0，4]上的最值，即为在[2，4]上的最值．
设2^x=t，t∈[4，16]，
∴f（t）=t²+t-6，
∴对称轴为t=-$\frac{1}{2}$，
∴f（t）在[4，16]上为增函数，
∴f（t）_max=f（16）=16²+16-6=266，
f（t）_min=f（4）=16+4-6=14，
故选：A

点评 本题考查了函数对称性和函数的单调性，以及换元法的应用，属于中档题．