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    我们将不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点称为切点．解决下列问题：
    已知抛物线上的点到焦点的距离等于4，直线与抛物线相交于不同的两点、，且（为定值）．设线段的中点为，与直线平行的抛物线的切点为．.

    （1）求出抛物线方程，并写出焦点坐标、准线方程；
    （2）用、表示出点、点的坐标，并证明垂直于轴；
    （3）求的面积，证明的面积与、无关，只与有关.
    （1），，，（2），，（3）.

    试题分析：（1）由抛物线定义得：，即，因此抛物线方程为，焦点坐标，准线方程为．（2）因为D点为直线与抛物线的交点A，B中点，所以求D点坐标就根据直线方程与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理求解，即由，得，，点.因为C点为切点，利用切线方程与抛物线方程联立方程组后的判别式为零进行求解，即由,得，得.由于、的横坐标相同，垂直于轴．（3）求三角形面积，必须观察结构，合理选用底边与高.本题将CD选为底,则为高，利用（1）求出，则.的面积与、无关，只与有关．
    试题解析：（1），得，抛物线方程为．    2分
    焦点坐标，准线方程为．    4分
    （2）由，得，
    点          6分
    设切线方程为，由,得，，切点的横坐标为，得    8分
    由于、的横坐标相同，垂直于轴．        10分
    （3），．   12分
    ．        15分
    的面积与、无关，只与有关．      16分
    （本小题也可以求，切点到直线的距离，相应给分）
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知定点与分别在轴、轴上的动点满足：,动点满足．
    （1）求动点的轨迹的方程；
    （2）设过点任作一直线与点的轨迹交于两点，直线与直线分别交于点（为坐标原点）；
    （i）试判断直线与以为直径的圆的位置关系；
    （ii）探究是否为定值？并证明你的结论.

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点、、均在抛物线上.

    （1）写出该抛物线的方程及其准线方程；
    （2）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值及直线的斜率.

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．
    （1）求动点的轨迹曲线的方程；
    （2）设动直线与曲线相切于点，且与直线相交于点，试探究：在坐标平面内是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    抛物线上一点到直线的距离与到点的距离之差的最大值为（  ）
    A．B．C．D．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    若点P到直线y＝－2的距离比它到点A(0,1)的距离大1，则点P的轨迹为(　　)
    A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则            ．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    已知抛物线的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A,B两点,直线AF,BF分别于抛物线交于点C,D.设直线AB,CD的斜率分别为，则(    )
    A.               B.             C.1              D.2

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A,B两点，分别过A,B作抛物线的切线,则与的交点P的轨迹方程是（    ）
    A．B．C．D．

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