Question

已知椭圆：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
（Ⅰ）若椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为2+

3

和2-

3

，求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，过坐标原点O任作两条互相垂直的直线与椭圆分别交于P、Q和R、S四点．设原点O到四边形PRQS某一边的距离为d，试求：当d=1时

1

a2

+

1

b2

的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为2+

3

和2-

3

，
∴2a=4，a=2，2c=2

3

，c=

3

，
∴椭圆的方程：

x2

4

+y2=1
（Ⅱ）由椭圆的对称性知：PRQS为菱形，原点O到各边距离相等
（1）当P在y轴上时，易知R在x轴上，此时PR方程为

x

a

+

y

b

=1，d=1⇒

1

a2

+

1

b2

=1．
（2）当P在x轴上时，易知R在y轴上，此时PR方程为

x

a

+

y

b

=1，d=1⇒

1

a2

+

1

b2

=1．
（3）当P不在坐标轴上时，设PQ斜率为k，P（x₁，kx₁）、R(x2，-

1

k

x2)
P在椭圆上，

1

x 21

=

1

a2

+

k2

b2

①；
R在椭圆上，

1

x 21

=

1

a2

+

1

k2b2

②
利用Rt△POR可得　d|PR|=|OP|•|OR|
即　(x1-x2)2+(kx1+

x2

k

)2=(

x

21

+k2

x

21

)(

x

22

+

x 22

k2

)
整理得　

k2

x 22

+

1

x 21

=1+k2．再将①②代入，得

1

a2

+

1

b2

=1
综上当d=1时，有

1

a2

+

1

b2

=1．