Question

已知定义在R上奇函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
（1）若f（1）≠1，且当x∈[1，2]时，函数g(x)=

f(x)

x

的值域为[-2，1]
①求函数f（x）的解析式；
②关于x的方程f（x）=3x+m有且只有三个实根，求m的取值范围；
（2）若c=-3，f（x）+1≥0对于?x∈[-1，1]成立，求f（x）的表达式．

Answer 1

分析：（1）①先由f（x）是奇函数得出b=d=0，此时g（x）=ax²+c，再利用二次函数性质求解值域和解析式．
②由f（x）=3x+m有且只有三个根?x³-6x=m有且只有三个根；令μ（x）=x³-6x，利用导数研究其单调性、极值、最值，利用数形结合的思想求解m．
（2）当c=-3时，f（x）+1≥0对于?x∈[-1，1]成立；?ax³-3x+1≥0对于?x∈[-1，1]成立；令k（x）=ax³-3x+1，通过k（x）的最小值与0的关系求出a，得出解析式．

解答：解：（1）①由f（x）是奇函数得f（x）+f（-x）=0对于?x∈R成立，
即bx²+d=0对于?x∈R成立；所以b=d=0
此时g（x）=ax²+c，当a＜0时，g（x）在[1，2]递减，则有f（1）=1又知f（1）≠1，
故a＞0时，g（x）在[1，2]递增；则有f（1）=-2，f（2）=1解得a=1，c=-3；
所以f（x）=x³-3x
②由f（x）=3x+m有且只有三个根?x³-6x=m有且只有三个根；
令μ（x）=x³-6x，则μ′(x)=3x2-6=3(x+

2

)(x-

2

)，
令μ′(x)=0⇒x=±

2

x∈(-∞，-

2

)⇒μ′(x)＞0⇒μ(x)在(-∞，-

2

)递增；x∈(-

2

，

2

)⇒μ′(x)＜0⇒μ(x)在(-

2

，

2

)递减；
x∈(

2

，+∞)⇒μ′(x)＞0⇒μ(x)在(

2

，+∞)递增，
f(x)极大=f(-

2

)=4

2

，f(x)极小=f(

2

)=-4

2

，
故-4

2

＜m＜4

2

（2）当c=-3时，f（x）+1≥0对于?x∈[-1，1]成立?ax³-3x+1≥0对于?x∈[-1，1]成立；
令k（x）=ax³-3x+1，由k（1）≥0得a≥2
k′(x)=3ax2-3=3a(x+

1 a

)(x-

1 a

)，
因为 

1 a

≤

1 2

＜1，
所以k（x）在[-1，递增，(-

1 a ，

1 a

)递减，(

1 a

，1]递增，
则必有

k( 1 a )≥0 k(-1)≥0

⇒a=4⇒f（x）=4x³-3x

点评：本题考查函数性质的综合应用，考查导数的工具作用．属于中档题．