Question

15．已知函数y=f（x）=（$\frac{1}{3}$）^|x+1|
（1）画出函f（x）的图象（简图）；
（2）由图象指出函数（x）的单调区间；
（3）若曲线y=f（x）与直线y=b没有公共点，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据指数函数的性质将函数表示为分段函数形式，即可画出函f（x）的图象（简图）；
（2）由图象即可指出函数（x）的单调区间；
（3）求出函数f（x）的取值范围，利用数形结合即可求实数b的取值范围．

解答 解：（1）y=f（x）=（$\frac{1}{3}$）^|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{3}）^{x+1}，}&{x≥-1}\\{{3}^{x+1}，}&{x＜-1}\end{array}\right.$，
则函f（x）的图象为（简图）；
（2）由图象可知当x≥-1时，函数单调递减，当x≤-1时，函数单调递增，
即函数（x）的单调递增区间为（-∞，-1]，单调递减区间为[-1，+∞）；
（3）∵f（x）=（$\frac{1}{3}$）^|x+1|∈（0，1]，
∴若曲线y=f（x）与直线y=b没有公共点，
则b＞1或b≤0，
即实数b的取值范围是b＞1或b≤0

点评 本题主要考查指数函数的图象和性质，利用数形结合以及分段函数的性质是解决本题的关键．