Question

已知函数f(x)=

x-a+1

a-x

(a∈R，且x≠a）．
（Ⅰ） 证明：f（x）+f（2a-x）=-2对函数f（x）在其定义域内的所有x都成立；
（Ⅱ） 当函数f（x）的定义域为[a+

1

2

，a+1]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）计算左边f（x）+f（2a-x）是否等于-2即可；
（2）先化简f（x）=-(1+

1

x-a

)，只要由求出x-a的取值范围，进而可求出函数f（x）的值域．

解答：解：（1）证明：当x≠a时，f（x）+f（2a-x）=

x-a+1

a-x

+

2a-x-a+1

a-(2a-x)

=

x-a+1-(a-x+1)

a-x

=

2(x-a)

a-x

=-2，
∴f（x）+f（2a-x）=-2对函数f（x）在其定义域内的所有x都成立；
（2）当x≠a时，f（x）=-1+

1

a-x

=-(1+

1

x-a

)．
∵a+

1

2

≤x≤a+1，∴

1

2

≤x-a≤1，∴1≤

1

x-a

≤2，∴2≤1+

1

x-a

≤3，
∴-3≤-(1+

1

x-a

)≤-2，即-3≤f（x）≤-2．
故函数f（x）的值域为[-3，-2]．

点评：熟悉证明题的方法和由x的取值求出与之有关的代数式的值是解题的关键．