Question

20．已知各项都为正数的数列{a_n}满足$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$，且64a₁₀-a₄=0，记S_n是数列{a_n}的前n项和，则$\frac{{S}_{6}}{{a}_{1}-{S}_{3}}$的值为（　　）

• A． -$\frac{21}{8}$
• B． $\frac{21}{8}$
• C． -9
• D． 9

Answer 1

分析 由数列递推式可得数列{a_n}是等比数列，设公比为q，由64a₁₀-a₄=0求得公比，再结合等比数列的前n项和公式得答案．

解答 解：由$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$，得${{a}_{n+1}}^{2}={a}_{n}{a}_{n+2}$，
∴数列{a_n}是等比数列，设公比为q，
则${a}_{10}={a}_{4}{q}^{6}$，代入64a₁₀-a₄=0，
得$64{a}_{4}{q}^{6}-{a}_{4}=0$，即$q=\frac{1}{2}$．
则${S}_{6}=\frac{{a}_{1}（1-\frac{1}{{2}^{6}}）}{1-\frac{1}{2}}=2{a}_{1}（1-\frac{1}{{2}^{6}}）$，
${S}_{3}=\frac{{a}_{1}（1-\frac{1}{{2}^{3}}）}{1-\frac{1}{2}}=2{a}_{1}（1-\frac{1}{{2}^{3}}）$，
∴$\frac{{S}_{6}}{{a}_{1}-{S}_{3}}$=$\frac{2{a}_{1}（1-\frac{1}{{2}^{6}}）}{{a}_{1}-2{a}_{1}（1-\frac{1}{{2}^{3}}）}=-\frac{21}{8}$．
故选：A．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的前n项和，是中档题．