Question

（2012•广州一模）已知点F₁、F₂分别是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的两个焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与双曲线C交于A、B两点，若△ABF₂为等边三角形，则该双曲线的离心率e=（　　）

• A．2
• B．2

  3

• C．

  2

  3

• D．

  3

Answer 1

分析：根据题意，分别求出AB，F₁F₂的长，利用△ABF₂为等边三角形，即可求出双曲线的离心率．

解答：解：设F₁（-c，0），F₂（c，0），则
将F₁（-c，0）代入双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1，可得

c2

a2

-

y2

b2

=1，
∴y=±

b2

a

∵过F₁且垂直于x轴的直线与双曲线C交于A、B两点，
∴|AB|=

2b2

a

∵△ABF₂为等边三角形，|F₁F₂|=2c，
∴2c=

3

2

×

2b2

a

∴2ac=

3

(c2-a2)
∴

3

e2-2e-1=0
∴e=-

3

3

或

3

∵e＞1，∴e=

3

故选D．

点评：本题重点考查双曲线的几何性质，考查等边三角形的性质，求离心率的关键是确定几何量之间的关系．