Question

如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）在一个周期内的图象，M，N分别是其最高点、最低点，MC⊥x轴，且矩形MBNC的面积为4π．
（1）求函数f（x）=Asin（ωx+φ）的一个解析式；
（2）求函数f（x）=Asin（ωx+φ）的单调递减区间；
（3）试说明怎样由y=sinx的图象经过变换得到函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象．

Answer 1

分析：（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而求得函数的解析式．
（2）令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．
（3）根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，的出结论．

解答：解：（1）设函数的周期为T，则由题意可得

3T

4

=

5π

6

-

π

12

=

3π

4

，∴T=π=

2π

ω

，ω=2．
再矩形MBNC的面积为4π可得 2A•

T

2

=4π 可得A=4．
再由五点法作图可得 2×

π

12

+φ=

π

2

，∴φ=

π

3

．
故函数f（x）=Asin（ωx+φ）的一个解析式为 f（x）=4sin（2x+

π

3

）．
（2）令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得  kπ-

π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，故函数的减区间为[kπ-

π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈z．
（3）把y=sinx的图象向左平移

π

3

个单位，再把图象上各个点的横坐标变为原来的

1

2

倍，纵坐标不变；
再把所得的图象上各个点的纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变，即得函数f（x）=4sin（2x+

π

3

）的图象．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，正弦函数的单调减区间，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．