Question

【题目】在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（ ）

A.2
B.1
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：建立如图所示的坐标系：
可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，
△ABC的重心为（ ， ），设P（a，0），其中0＜a＜4，
则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足 ，
解得 ，即P1（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0），
由光的反射原理可知P1 ， Q，R，P2四点共线，
直线QR的斜率为k= = ，故直线QR的方程为y= （x+a），
由于直线QR过△ABC的重心（ ， ），代入化简可得3a2﹣4a=0，
解得a= ，或a=0（舍去），故P（ ，0），故AP=
故选D

建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1 ， Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值．