Question

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x+1|-|x-3|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）已知关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过分类讨论，去掉绝对值函数中的绝对值符号，转化为分段函数，即可求得不等式f（x）＞0的解集；
（2）构造函数g（x）=f（x）-3，关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立?a＜f（x）-3恒成立?a＜g（x）_min，先求得f（x）_min，再求g（x）_min即可．

解答：解：（1）∵f（x）=|2x+1|-|x-3|=

-x-4，x＜- 1 2 3x-2，- 1 2 ≤x≤3 x+4，x＞3

，
∵f（x）＞0，
∴①当x＜-

1

2

时，-x-4＞0，
∴x＜-4；
②当-

1

2

≤x≤3时，3x-2＞0，
∴

2

3

＜x≤3；
③当x＞3时，x+4＞0，
∴x＞3．
综上所述，不等式f（x）＞0的解集为：（-∞，-4）∪（

2

3

，+∞）…（5分）
（2）由（1）知，f（x）=

-x-4，x＜- 1 2 3x-2，- 1 2 ≤x≤3 x+4，x＞3

，
∴当x≤-

1

2

时，-x-4≥-

7

2

；
当-

1

2

＜x＜3时，-

7

2

＜3x-2＜7；
当x≥3时，x+4≥7，
综上所述，f（x）≥-

7

2

．
∵关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，
∴a＜f（x）-3恒成立，
令g（x）=f（x）-3，则g（x）≥-

13

2

．
∴g（x）_min=-

13

2

．
∴a＜g（x）_min=-

13

2

…10 分

点评：本题考查带绝对值的函数，考查分类讨论思想与构造函数的思想，考查恒成立问题，属于难题．