Question

函数f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2
（1）如果函数g（x）单调减区间为（-

1

3

，1），求函数g（x）解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数y=g（x）图象过点p（1，1）的切线方程；
（3）若?x₀∈（0，+∞），使关于x的不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，求实数a取值范围．

Answer 1

分析：（1）求g（x）的导数，利用函数g（x）单调减区间为（-

1

3

，1），即-

1

3

，1是方程g'（x）=0的两个根．然后解a即可．
（2）利用导数的几何意义求切线方程．（3）将不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，转化为含参问题恒成立，然后利用导数求函数的最值即可．

解答：解：（1）∵g'（x）=3x²+2ax-1，若函数g（x）单调减区间为（-

1

3

，1），由g'（x）=3x²+2ax-1＜0，解为-

1

3

＜x＜1，
∴-

1

3

，1是方程g'（x）=0的两个根，
∴-

1

3

+1=-

2a

3

⇒a=-1，
∴g（x）=x³-x²-x+2…（4分）
（2）设切点为（x₀，y₀），则切线方程为y-y0=(3x02-2x0-1)(x-x0)，将（1，1）代入
得-1(x03-x02-x0+2)=(3x02-2x0-1)(x-x0)x0(x0-1)2=0x0=0或x0=1．
所以切线方程为y=-x+2或y=1…（9分）
（3）要使关于x的不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，即2xlnx≥3x²+2ax-1+2成立．
所以2ax≤2xlnx-3x²-1，在x＞0时有解，所以2a≤2lnx-3x-

1

x

最大值，
令h(x)=2lnx-3x-

1

x

，则h′(x)=

2

x

-3+

1

x2

=

-(x-1)(3x+1)

x2

，
当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）单增，
当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）单减．
∴x=1时，h（x）max=-4，
∴2a≤-4，
即a≤-2…（14分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握导数和函数单调性，最值之间的关系，考查学生的运算能力．对含有参数恒成立问题，则需要转化为最值恒成立．