Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，AA₁=2

2

，∠ACB=90°，M是AA₁ 的中点，N是BC₁的中点 
（1）求证：MN∥平面A₁B₁C₁；
（2）求点C₁到平面BMC的距离；
（3）求二面角B-C₁M-A₁的平面角的余弦值大小．

Answer 1

分析：（1）由直三棱柱的几何特征，取B₁C₁中点D，连接ND、A₁D，易得四边形A₁MND为平行四边形，然后由线面平行的判定定理得到MN∥平面A₁B₁C₁；
（2）可证BC⊥平面A₁MC₁，在平面ACC₁A₁中，过C₁作C₁H⊥CM，又BC⊥C₁H，所以C₁H为点C₁到平面BMC的距离，在等腰三角形CMC₁中，可求C₁H的长．
（3）在平面ACC₁A₁上作CE⊥C₁M交C₁M于点E，A₁C₁于点F，则CE为BE在平面ACC₁A₁上的射影，可得BEF为二面角B-C₁M-A的平面角，在等腰三角形CMC₁中，可求∠BEC，即可求得∠BEF，从而可求二面角B-C₁M-A₁的平面角的余弦值．

解答：（1）证明：如图所示，取B₁C₁中点D，连接ND、A₁D，则DN∥BB₁∥AA₁
又DN=

1

2

BB₁=

1

2

AA₁=A₁M，∴四边形A₁MND为平行四边形．
∴MN∥A₁D  
又 MN?平面A₁B₁C₁，AD₁?平面A₁B₁C₁
∴MN∥平面A₁B₁C₁；
（2）解：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁C⊥BC
∵∠ACB=90°，∴BC⊥平面A₁MC₁，
在平面ACC₁A₁中，过C₁作C₁H⊥CM，又BC⊥C₁H，所以C₁H为点C₁到平面BMC的距离
在等腰三角形CMC₁中，C₁C=2

2

，CM=C₁M=

6

∴C₁H=

CC1•AC

CM

=

4 3

3

．
（3）解：在平面ACC₁A₁上作CE⊥C₁M交C₁M于点E，A₁C₁于点F，则CE为BE在平面ACC₁A₁上的射影，
∴BE⊥C₁M，∴∠BEF为二面角B-C₁M-A的平面角，
在等腰三角形CMC₁中，CE=C₁H=

4 3

3

，
∴tan∠BEC=

BC

CE

=

3

2

∴∠BEC=arctan

3

2

，∴∠BEF=π-arctan

3

2

，
∴cos∠BEF=

2 7

7

即二面角B-C₁M-A₁的平面角的余弦值为

2 7

7

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，点到面的距离，考查面面角，熟练掌握直三棱柱的几何特征，掌握空间直线与平面之间位置的判定、性质是解答本题的关键．