分析:(1)由直三棱柱的几何特征,取B1C1中点D,连接ND、A1D,易得四边形A1MND为平行四边形,然后由线面平行的判定定理得到MN∥平面A1B1C1;
(2)可证BC⊥平面A1MC1,在平面ACC1A1中,过C1作C1H⊥CM,又BC⊥C1H,所以C1H为点C1到平面BMC的距离,在等腰三角形CMC1中,可求C1H的长.
(3)在平面ACC1A1上作CE⊥C1M交C1M于点E,A1C1于点F,则CE为BE在平面ACC1A1上的射影,可得BEF为二面角B-C1M-A的平面角,在等腰三角形CMC1中,可求∠BEC,即可求得∠BEF,从而可求二面角B-C1M-A1的平面角的余弦值.
解答:(1)证明:如图所示,取B
1C
1中点D,连接ND、A
1D,则DN∥BB
1∥AA
1又DN=
BB
1=
AA
1=A
1M,∴四边形A
1MND为平行四边形.
∴MN∥A
1D
又 MN?平面A
1B
1C
1,AD
1?平面A
1B
1C
1∴MN∥平面A
1B
1C
1;
(2)解:直三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,C
1C⊥BC
∵∠ACB=90°,∴BC⊥平面A
1MC
1,
在平面ACC
1A
1中,过C
1作C
1H⊥CM,又BC⊥C
1H,所以C
1H为点C
1到平面BMC的距离
在等腰三角形CMC
1中,C
1C=2
,CM=C
1M=
∴C
1H=
=.
(3)解:在平面ACC
1A
1上作CE⊥C
1M交C
1M于点E,A
1C
1于点F,则CE为BE在平面ACC
1A
1上的射影,
∴BE⊥C
1M,∴∠BEF为二面角B-C
1M-A的平面角,
在等腰三角形CMC
1中,CE=C
1H=
,
∴tan∠BEC=
=∴∠BEC=arctan
,∴∠BEF=π-arctan
,
∴cos∠BEF=
即二面角B-C
1M-A
1的平面角的余弦值为
点评:本题考查的知识点是直线与平面平行的判定,点到面的距离,考查面面角,熟练掌握直三棱柱的几何特征,掌握空间直线与平面之间位置的判定、性质是解答本题的关键.