Question

已知椭圆C：，直线l过点M（m，0）．
（Ⅰ）若直线l交y轴于点N，当m=-1时，MN中点恰在椭圆C上，求直线l的方程；
（Ⅱ）如图，若直线l交椭圆C于A，B两点，当m=-4时，在x轴上是否存在点p，使得△PAB为等边三角形？若存在，求出点p坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设点N（0，n），表示出MN中点坐标，代入椭圆方程即可求得n值，从而可得直线方程；
（Ⅱ）假设在x轴上存在点P，使得△PAB为等边三角形．设直线l为x=ty-4，写出AB中垂线方程，进而得到P点坐标，表示出P到直线l的距离d，据弦长公式求出|AB|，则有d=•|AB|
，解出即可，注意要保证直线与椭圆有两个交点，即直线与椭圆方程联立消元后△＞0．
解答：解：（Ⅰ）设点N（0，n），则MN的中点为（-，），
∴=1，解得n=，
所以直线l的方程为：y=±（x+1）．                         
（Ⅱ）假设在x轴上存在点P，使得△PAB为等边三角形．
设直线l为x=ty-4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，∴（3t²+4）y²-24ty+36=0，
∴y₁+y₂=，，△=144（t²-4）＞0，
∴AB中点为（，），
∴AB的中垂线为：y-=-t（x+），
∴点P为（-，0），∴P到直线l的距离d==，
∵|AB|=，
∴=，
∴t=±，
∴存在点P为（-，0）．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题、直线方程，考查学生的运算变形能力，考查学生分析解决问题的能力．