Question

已知负数a₁和正数b₁，且对任意的正整数n，当

an+bn

2

≥0时，有[a_n+1，b_n+1]=[a_n，

an+bn

2

]；当

an+bn

2

＜0时，有[a_n+1，b_n+1]=[

an+bn

2

，b_n]．
（1）求证数列{b_n-a_n}是等比数列；
（2）若a₁=-1，b₁=2，求证a_2n=-2b_2n（n∈N^*）；
（3）是否存在a₁，b₁，使得数列{a_n}为常数数列？请说明理由．

Answer 1

（1）当

an+bn

2

≥0时，b_n+1-a_n+1=

an+bn

2

-a_n=

bn-an

2

；
当

an+bn

2

＜0，b_n+1-a_n+1=b_n-

an+bn

2

=

bn-an

2

．
所以，总有b_n+1-a_n+1=

1

2

（b_n-a_n），
又b₁＞0，a₁＜0，可得b₁-a₁＞0，
所以数列{b_n-a_n}是等比数列．（4分）
（2）①由a₁=-1，b₁=2，可得

a1+b1

2

=

1

2

＞0，
故有[a2，b2]=[a1，

a1+b1

2

]，
∴b2=

a1+b1

2

=

1

2

，a₂=a₁=-1，从而a₂=-2b₂，
故当n=1时，a_2n=-2b_2n成立．（6分）
②假设当n=k时，a_2n=-2b_2n成立，即a_2k=-2b_2k，
由b_2k-a_2k=3b_2k＞0，可得b_2k＞0，

a2k+b2k

2

=

-2b2k+b2k

2

=-

b2k

2

＜0，
故有[a2k+1，b2k+1]=[

a2k+b2k

2

，b2k]，
∴a2k+1=

a2k+b2k

2

=-

b2k

2

，b2k+1=b2k，（9分）

a2k+1+b2k+1

2

=

- b2k 2 +b2k

2

=

b2k

4

＞0，
故有[a2k+2，b2k+2]=[a2k+1，

a2k+1+b2k+1

2

]
∴b2k+2=

a2k+1+b2k+1

2

=

b2k

4

，a2k+2=a2k+1=-

b2k

2

，
故a_2（k+1）=-2b_2（k+1）
∴当n=k+1时，a_2n=-2b_2n成立．
综合①②可得对一切正整数n，都有a_2n=-2b_2n．（12分）
（3）假设存在a₁，b₁，使得数列{a_n}为常数数列，
由（1）可得b_n-a_n=（b₁-a₁）（

1

2

）^n-1，又a_n=a₁，
故b_n=a₁+（b₁-a₁）（

1

2

）^n-1，（14分）
由a_n+1=a_n恒成立，可知

an+bn

2

≥0，即a₁+（b₁-a₁）（

1

2

）ⁿ≥0恒成立，
即2ⁿ≤

a1-b1

a1

对任意的正整数n恒成立，（16分）
又

a1-b1

a1

是正数，
故n≤log2

a1-b1

a1

对任意的正整数n恒成立，
因为log2

a1-b1

a1

是常数，
故n≤log2

a1-b1

a1

不可能对任意正整数n恒成立．
故不存在a₁，b₁，使得数列{a_n}为常数数列．（18分）