Question

已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AB=1，AD=2，F为CD的中点且AF∥平面BCE．
（I） 求线段DE的长；
（II） 求直线BF和平面BCE所成角的正切值．

Answer 1

解：（I） 取CE的中点G，连FG、BG．
∵F为CD的中点，
∴GF∥DE且GF=DE．
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB，
∴A，B，G，F四点共面．
又AF∥平面BCE，面ABGF∩面BCE=BG，
∴AF∥BG，∴四边形GFAB为平行四边形，
∴GF=AB．
∴DE=2AB=2．
（II）∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD．
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF．
又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．
∵BG?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE
在平面CDE内，过F作FH⊥CE于H，连BH．
∵平面BCE⊥平面CDE，∴FH⊥平面BCE．
∴∠FBH为BF和平面BCE所成的角．
在直角△BFH中，．，，
∴．
∴直线BF和平面BCE所成角的正切值为．
分析：（I）取CE的中点G，连FG、BG．先利用平行公理和平面基本性质公里证明A，B，G，F四点共面．再利用线面平行的性质定理证明四边形GFAB为平行四边形，最后证得DE=2AB=2；
（II）先利用面面垂直的判定定理，由BG⊥平面CDE，证明平面BCE⊥平面CDE，再由面面垂直的性质定理，过F作FH⊥CE于H，连BH，则∠FBH为BF和平面BCE所成的角，最后在直角三角形BFH中计算此角即可
点评：本题主要考查了线面垂直的判定和性质定理，面面垂直的判定和性质定理，平面的基本性质公理及平行公理，直线与平面所成的角的作法、证法、求法，将空间问题转化为平面问题的思想方法