Question

（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知的两条角平分线和相交于H，，F在上，且。

（Ⅰ）证明：B、D、H、E四点共圆；
（Ⅱ）证明：平分。

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析。
（Ⅱ）证明见解析。

（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°，
所以∠BAC+∠BCA=120°。
因为AD，CE是角平分线，
所以∠HAC+∠HCA=60°，
故∠AHC=120°。
于是∠EHD=∠AHC=120°。
因为∠EBD+∠EHD=180°，
所以B、D、H、E四点共圆。
（Ⅱ）连结BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD=30°
由（Ⅰ）知B、D、H、E四点共圆，
所以∠CED=∠HBD=30°。
又∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得EF⊥AD，
可得∠CEF=30°。
所以CE平分∠DEF。