Question

12．若椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上一点P与两焦点构成的三角形面积是$\frac{36}{5}$，则点P的坐标为（$\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{9}{5}$）；（$\frac{\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{9}{5}$）；（$-\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{9}{5}$）；（$-\frac{\sqrt{10}}{2}$，$-\frac{9}{5}$）．

Answer 1

分析 求出焦距，利用三角形的面积求出三角形的高，通过椭圆方程求解坐标即可．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦距为：8，椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上一点P与两焦点构成的三角形面积是$\frac{36}{5}$，
可得$\frac{36}{5}=\frac{1}{2}×8×h$，解得h=$\frac{9}{5}$，即P的纵坐标为：±$\frac{9}{5}$，
代入椭圆方程可得$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{（\frac{9}{5}）}^{2}}{9}=1$，
解得x=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
所求P的坐标（$\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{9}{5}$）；（$\frac{\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{9}{5}$）；（$-\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{9}{5}$）；（$-\frac{\sqrt{10}}{2}$，$-\frac{9}{5}$）．
故答案为：（$\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{9}{5}$）；（$\frac{\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{9}{5}$）；（$-\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{9}{5}$）；（$-\frac{\sqrt{10}}{2}$，$-\frac{9}{5}$）．

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．