Question

给定以下命题：
（1）函数y=x+cosx在区间(-

π

2

，

π

2

)上有唯一的零点；
（2）向量

a

与向量

b

共线，则向量

a

与向量

b

方向相同或是方向相反；
（3）若角α=β，则一定有tanα=tanβ；
（4）若?x₀∈R，使f′（x₀）=0，则函数f（x）在x=x₀处取得极大或是极小值．
则上述命题中，假命题的个数为（　　）

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

Answer 1

分析：（1）对函数进行求导，研究函数的单调性，从而可判断函数y=x+cosx在区间(-

π

2

，

π

2

)上有唯一的零点；
（2）当两个向量中有零向量时，结论不正确；（3）若角α=β=

π

2

，则tanα=tanβ不成立；
（4）f′（x₀）=0，函数f（x）在x=x₀的左右附近，导数符号不改变时，结论不成立．

解答：解：（1）求导函数y′=1-sinx．∵x∈(-

π

2

，

π

2

)，∴y′＞0，∴函数y=x+cosx在区间(-

π

2

，

π

2

)上单调增
．∵x∈(-

π

2

，

π

2

)，∴y∈(-

π

2

，

π

2

)，∴函数y=x+cosx在区间(-

π

2

，

π

2

)上有唯一的零点，故（1）是真命题；
（2）中未注意零向量，当两个向量中有零向量时，结论不正确，所以（2）为假命题，
（3）若角α=β=

π

2

，则tanα=tanβ不成立，故（3）为假命题；
（4）f′（x₀）=0，函数f（x）在x=x₀的左右附近，导数符号改变时，函数f（x）在x=x₀处取得极大或是极小值，否则不成立，故（4）为假命题．
综上知，（2）（3）（4）为假命题
故选B．

点评：本题主要考查函数的零点，函数的极值，考查向量知识，考查三角函数，注意结论成立的条件是关键．