Question

（2012•宝山区一模）如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱长为2，E，F分别是BB₁，CD的中点．
（1）求三棱锥E-AA₁F的体积；
（2）求异面直线EF与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

分析：（1）首先求出S_△AA1E=

1

2

S_{正方形A1B1BA}=2，然后通过证明CD∥平面A₁B₁BA和BC⊥平面A₁B₁BA，得到BC就是F到平面A₁B₁BA的距离，也是三棱锥E-AA₁F的高，最后可用锥体体积公式，求出三棱锥E-AA₁F的体积；
（2）连接EC，可得∠EFC（或其补角）即为异面直线EF与AB所成角．在Rt△EBC中，FC=

1

2

CD=1，EC=

5

，利用正切在直角三角形中的定义得tan∠EFC=

EC

FC

=

5

，即得异面直线EF与AB所成角的大小是arctan

5

．

解答：解：（1）∵正方形A₁B₁BA中，E为BB₁的中点
∴三角形AA₁E的面积S_△AA1E=

1

2

S_{正方形A1B1BA}=

1

2

×2²=2
又∵CD∥AB，CD?平面A₁B₁BA，AB?平面A₁B₁BA，
∴CD∥平面A₁B₁BA，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，BC⊥平面A₁B₁BA，
∴BC即为直线CD到平面A₁B₁BA的距离，即F到平面A₁B₁BA的距离为2，
∴三棱锥E-AA₁F的体积为V=

1

3

×S_△AA1E×2=

4

3

…（6分）
（2）连接EC，因为AB∥CD，所以∠EFC（或其补角）即为异面直线EF与AB所成角，…（9分）
∵CF⊥平面C₁B₁CB，EC?平面C₁B₁CB，
∴CF⊥CE
在Rt△EBC中，EC=

BC2+EB2

=

5

，
∵Rt△EBC中，FC=

1

2

CD=1，…（10分）
∴tan∠EFC=

EC

FC

=

5

，可得∠EFC=arctan

5

…（13分）
即异面直线EF与AB所成角的大小是arctan

5

．…（14分）

点评：本题在正方体中求三棱锥的体积并求异面直线所成的角，着重考查了空间直线与平面的位置关系和异面直线所成角的求法等知识，属于基础题．