Question

19．在平行四边形ABCD中，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}=0$，$2{\overrightarrow{BC}^2}+{\overrightarrow{AC}^2}-4=0$，若将其沿AC折成直二面角D-AC-B，则三棱锥D-ACB的外接球的表面积为（　　）

• A． 16π
• B． 8π
• C． 4π
• D． 2π

Answer 1

分析 由已知中$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}=0$，可得AC⊥CB，沿AC折成直二面角D-AC-B，平面DAC⊥平面ACB，可得三棱锥A-BCD的外接球的直径为BD，进而根据$2{\overrightarrow{BC}^2}+{\overrightarrow{AC}^2}-4=0$，求出三棱锥D-ACB的外接球的半径，可得三棱锥D-ACB的外接球的表面积．

解答 解：平行四边形ABCD中，
∵$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}=0$，
∴AC⊥CB，
沿AC折成直二面角D-AC-B，∴平面DAC⊥平面ACB，
三棱锥D-ACB的外接球的直径为DB，
∴BD²=AD²+AC²+BC²=2BC²+AC²=4
∴外接球的半径为1，
故表面积是4π．
故选：C．

点评 本题考查的知识点是球内接多面体，平面向量数量积的运算，其中根据已知求出三棱锥D-ACB的外接球的半径是解答的关键．