Question

已知数列{a_n}和{b_n}，对一切正整数n都有：a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁=3ⁿ⁺¹-2n-3成立．
（Ⅰ）如果数列{b_n}为常数列，b_n=1，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）如果数列{a_n}的通项公式为a_n=n，求证数列{b_n}是等比数列．
（Ⅲ）如果数列{b_n}是等比数列，数列{a_n}是否是等差数列？如果是，求出这个数列的通项公式；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）若b_n=1，根据题中等式并将n用n-1迭代，作差可得a_n=2•3ⁿ-2，当n=1时也适合．因此可得{a_n}的通项公式为a_n=2•3ⁿ-2．   
（II）若a_n=n，根据题中等式可得b_n+2b_n-1+3b_n-2+…+nb₁=3ⁿ⁺¹-2n-3，用n-1替代n，再作差得到b_n+b_n-1+b_n-2+…+b₁=2•3ⁿ-2．再将此式作一次用n-1替代n的代换，作差可得b_n=4•3^n-1，而n=1时也适合．由此即可得到数列{b_n}的通项公式，从而得到数列{b_n}是等比数列．
（II）设数列{b_n}的首项为b₁，公比为q，由已知得：a₁b_n-1q+a₂b_n-2q+a₃b_n-3q+…+a_nb₁=3ⁿ⁺¹-2n-3，将左边化简整理，并利用整体代换算出q[3ⁿ-2（n-1）-3]+a_nb₁=3ⁿ⁺¹-2n-3，从而得到a_n关于b₁与q的分式表达式，再分q=3与q≠3两种情况加以讨论，即可得到数列{a_n}是否是等差数列的正确结论．

解答：解：（Ⅰ）若b_n=1，结合已知条件得：a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ⁺¹-2n-3，
将n用n-1迭代，可得：a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=3ⁿ-2（n-1）-3．（n≥2）
两式相减得：a_n=2•3ⁿ-2，当n=1时也适合．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2•3ⁿ-2．       …（4分）
（Ⅱ）若a_n=n，由已知得：b_n+2b_n-1+3b_n-2+…+nb₁=3ⁿ⁺¹-2n-3，
将n用n-1迭代，可得：b_n-1+2b_n-2+3b_n-3+…+（n-1）b₁=3ⁿ-2（n-1）-3，（n≥2）．
两式相减得：b_n+b_n-1+b_n-2+…+b₁=2•3ⁿ-2，…（7分）
再将n用n-1迭代，得：b_n-1+b_n-2+b_n-3+…+b₁=2•3^n-1-2．
两式相减得：b_n=4•3^n-1，经检验n=1时也适合．
∴数列{b_n}的通项公式为b_n=4•3^n-1，
可得数列{b_n}是4为首项，公比为3的等比数列．    …（10分）
（Ⅲ）设数列{b_n}的首项为b₁，公比为q，由已知得：
a₁b_n-1q+a₂b_n-2q+a₃b_n-3q+…+a_nb₁=3ⁿ⁺¹-2n-3
即：q（a₁b_n-1+a₂b_n-2+a₃b_n-3+…+a_n-1b₁）+a_nb₁=3ⁿ⁺¹-2n-3
可得q[3ⁿ-2（n-1）-3]+a_nb₁=3ⁿ⁺¹-2n-3
∴a_n=

(3-q)•3n-2n(1-q)-(3-q)

b1

   …（13分）
若q=3时，a_n=

4n

b1

，数列{a_n}为等差数列．
若q≠3时，因为a₂-a₁≠a₃-a₂，
∴a_n=

(3-q)•3n-2n(1-q)-(3-q)

b1

不是等差数列．
因此，当q=3时，数列{a_n}为等差数列；而当q≠3时，数列{a_n}不为等差数列…（16分）

点评：本题给出数列{a_n}、{b_n}满足的等式，求它们的通项公式并讨论能否成等差数列的问题．着重考查了数列的通项与求和、等差等比数列的通项公式与前n项和公式等知识，考查了计算能力与逻辑推理能力，属于难题．