Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别为棱CC₁，BC，AB，D₁C₁的中点．
（1）求证：点E，F，G，H四点共面；
（2）求证：平面A₁BC₁∥平面EFGH．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位线性质，可得EF∥GH，从而可得点E，F，G，H四点共面；
（2）证明EF∥平面A₁BC₁，FG∥平面A₁BC₁，利用面面平行的判定定理，即可得到结论．

解答：证明：（1）∵E，F，G，H分别为棱CC₁，BC，AB，D₁C₁的中点
∴EF∥BC₁，GH∥BC₁，
∴EF∥GH，
∴点E，F，G，H四点共面；
（2）由（1）知EF∥BC₁，
∵EF?平面A₁BC₁，BC₁?平面A₁BC₁，
∴EF∥平面A₁BC₁，
同理FG∥平面A₁BC₁，
∵EF∩FG=F，
∴平面A₁BC₁∥平面EFGH．

点评：本题考查四点共面，考查面面平行，考查学生分析解决问题的能力，正确运用面面平行的判定定理是关键．