Question

1．已知函数f（x）=x²-4x+2a+3，a∈R．
（1）若函数f（x）在[-1，1]上有零点，求a的取值范围；
（2）设函数g（x）=mx-2m，m∈R，当a=0时，?x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂），求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意结合二次函数的性质可得$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≥0}\\{f（1）≥0}\end{array}\right.$，由此求得a的范围；
（2）求出a=0时函数f（x）的值域A，然后分m＞0和m＜0求出函数g（x）的值域B，由题意可得A⊆B，然后利用两集合端点值间的关系列不等式组得答案．

解答 解：（1）由已知得，$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≥0}\\{f（1）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1+4+2a+3≥0}\\{1-4+2a+3≤0}\end{array}\right.$，解得-4≤a≤0；
（2）当a=0时，函数f（x）在[1，4]上的值域为A=[-1，3]．
当m＞0时，函数g（x）在[1，4]上的值域B=[-m，2m]．
当m＜0时，函数g（x）在[1，4]上的值域B=[2m，-m]．
由已知可得A⊆B，
∴当m＞0时，$\left\{\begin{array}{l}{-m≤-1}\\{2m≥3}\end{array}\right.$，解得m$≥\frac{3}{2}$；
当m＜0时，$\left\{\begin{array}{l}{2m≤-1}\\{-m≥3}\end{array}\right.$，解得m≤-3．
综上可知，m$≥\frac{3}{2}$或m≤-3．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了二次函数的性质，考查数学转化思想方法，是中档题．