[题目]在平面直角坐标系内.有一动点到直线的距离和到点的距离比值是(1)求动点的轨迹的方程,(2)已知点(异于点)为曲线上一个动点.过点作直线的垂线交曲线于点..求的最小值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】在平面直角坐标系内，有一动点到直线的距离和到点的距离比值是

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）已知点(异于点)为曲线上一个动点，过点作直线的垂线交曲线于点，，求的最小值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）直接根据题意设点，列式，化简，即可求出动点的轨迹的方程；

（2）先考虑特殊情况，当直线的斜率为时，可计算出，再考虑一般情况，

当直线的斜率不为时，设直线的方程为，与椭圆的方程联立求出点的坐标得出的长，同理，将直线的方程与椭圆的方程联立求出，继而得到的表达式，最后根据函数知识即可求出的最小值．

（1）设动点的坐标为，根据题意得，再考虑一般情况，当

化简得曲线的方程为：．

（2）当直线的斜率为时，为椭圆的短轴，则.

所以

当直线的斜率不为时，设直线的方程为，则直线的方程为

由得.

设所以，

故，得

设，由椭圆对称性可知.

由解得

，所以

所以

设，则

，令，则

所以是一个增函数，所以

综上，的最小值是.

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