Question

4．已知圆C：（x+1）²+y²=8．
（1）设点Q（x，y）是圆C上一点，求x+y的取值范围；
（2）在直线x+y-7=0上找一点P（m，n），使得过该点所作圆C的切线段最短．

Answer 1

分析 （1）设x+y=t，由直线x+y=t与已知圆有公共点和距离公式可得t的不等式，解不等式可得；
（2）可判直线与圆相离，由直线和圆的知识可得符合条件的直线，解方程组可得所求点．

解答 解：（1）设x+y=t，∵点Q（x，y）是圆C上一点，
∴直线x+y=t与已知圆有公共点，
∴$\frac{|-1+0-t|}{\sqrt{2}}$≤2$\sqrt{2}$，解得-5≤t≤3，
∴x+y的取值范围为[-5，3]；
（2）∵圆心（-1，0）到直线x+y-7=0的距离d=$\frac{|-1+0-7|}{\sqrt{2}}$=4$\sqrt{2}$＞2$\sqrt{2}$=r，
∴直线与圆相离，由直线和圆的知识可得只有当过圆心向直线x+y-7=0作垂线，
过其垂足作圆的切线所得切线段最短，此时垂足即为要求的点P，
由直线的垂直关系设过圆心的垂线为x-y+c=0，代入圆心坐标可得c=1，
联立x+y-7=0和x-y+1=0可解得交点为（3，4）即为所求．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式，属中档题．