Question

已知函数，,
(1)若为奇函数，求的值；
(2)若=1，试证在区间上是减函数；
(3)若=1，试求在区间上的最小值.

Answer 1

(1)
(2)利用“定义法”证明。在区间上是减函数
(3) 若，由(2)知在区间上是减函数，在区间上，当时，有最小值，且最小值为2。

试题分析：(1)当时，，若为奇函数，则
即,所以
(2)若，则=
设为, =
∵
∴,∴>0
所以，，因此在区间上是减函数
(3) 若，由(2)知在区间上是减函数，下面证明在区间上是增函数.
设 , =
∵,
∴
∴
所以 ，
因此在区间上上是增函数
因此，在区间上，当时，有最小值，且最小值为2
点评：中档题，研究函数的奇偶性，要注意定义域关于原点对称。利用定义法研究函数的单调性，要注意遵循“设，作差，变形，定号，结论”等步骤，关键是变形与定号。函数的单调性的基本应用之一是求函数的最值。