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9.已知函数f(x)=2sin(x-$\frac{π}{3}$)cosx+sinx(cosx+$\sqrt{3}$sinx),x∈R.
(Ⅰ)若α∈(-$\frac{π}{2}$,0),且cosα=$\frac{1}{3}$,求f($\frac{α}{2}$)的值;
(Ⅱ)已知△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=$\sqrt{3}$,a=4,求△ABC的面积S的取值范围.

分析 (Ⅰ)利用三角函数恒等变换的由于化简函数解析式可得f(x)=2sin(2x-$\frac{π}{3}$),从而可求f($\frac{α}{2}$)=sinα-$\sqrt{3}$cosα,利用同角三角函数基本关系式可求sinα,进而计算得解f($\frac{α}{2}$)的值.
(Ⅱ)由题意可求sin(2A-$\frac{π}{3}$)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,结合A的范围可求A=$\frac{π}{3}$,或$\frac{π}{2}$,利用余弦定理,基本不等式,三角形的面积公式即可计算求值得解.

解答 解:(Ⅰ)∵f(x)=2sin(x-$\frac{π}{3}$)cosx+sinx(cosx+$\sqrt{3}$sinx)
=(sinx-$\sqrt{3}$cosx)cosx+sinx(cosx+$\sqrt{3}$sinx)
=2sinxcosx-$\sqrt{3}$(cos2x-sin2x)
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
=2sin(2x-$\frac{π}{3}$),
∵α∈(-$\frac{π}{2}$,0),且cosα=$\frac{1}{3}$,可得:sinα=-$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,
∴f($\frac{α}{2}$)=2sin(α-$\frac{π}{3}$)=sinα-$\sqrt{3}$cosα=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$-$\sqrt{3}×\frac{1}{3}$=-$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3}$.
(Ⅱ)∵f(A)=2sin(2A-$\frac{π}{3}$)=$\sqrt{3}$,可得:sin(2A-$\frac{π}{3}$)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∵A∈(0,π),可得:2A-$\frac{π}{3}$∈(-$\frac{π}{3}$,$\frac{5π}{3}$),
∴2A-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$,或$\frac{2π}{3}$,解得:A=$\frac{π}{3}$,或$\frac{π}{2}$,
当A=$\frac{π}{3}$时,a=4,利用余弦定理可得:16=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,(当且仅当b=c时等号成立),
可得:△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}×$16×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$,
当A=$\frac{π}{2}$时,a=4,由勾股定理可得b2+c2=16≥2bc,(当且仅当b=c时等号成立),解得:bc≤8,
△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bc≤$\frac{1}{2}×8$=4.

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,同角三角函数基本关系式,余弦定理,基本不等式,三角形的面积公式的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.

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