Question

6．已知函数f（x）=x³+ax²-a²x+2．
（1）若a=1，求y=f（x）的极值； 
（2）讨论f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入函数的表达式，求出函数f（x）的导数，从而得到函数的单调区间，进而求出函数的极值；
（2）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而求出函数的单调区间．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=x³+x²-x+2，
∴f′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{3}$或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜$\frac{1}{3}$，
∴函数f（x）在（-∞，-1），（$\frac{1}{3}$，+∞）递增，在（-1，$\frac{1}{3}$）递减，
∴极大值为f（-1）=4，极小值为$f（\frac{1}{3}）=\frac{49}{27}$；
（2）∵f′（x）=3x²+2ax-a²=（3x-a）（x+a），
当a=0时，f′（x）=3x²≥0，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞），
当a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{a}{3}$或x＜-a，令f′（x）＜0，解得：-a＜x＜$\frac{a}{3}$，
∴f（x）的增区间为（-∞，-a）和$（\frac{a}{3}，+∞）$，减区间为$（-a，\frac{a}{3}）$，
当a＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＞-a或x＜$\frac{a}{3}$，令f′（x）＜0，解得：$\frac{a}{3}$＜x＜-a，
∴f（x）的增区间为$（-∞，\frac{a}{3}）$和（-a，+∞），减区间为$（\frac{a}{3}，-a）$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，考查分类讨论思想，是一道中档题．