Question

12．求证：函数y=-x³-x在R上是减函数．（注：立方差公式a³-b³=（a-b）（a²+ab²））

Answer 1

分析 根据减函数的定义，设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后通过作差值，并用上立方差公式及提取公因式，便可证出y₁＞y₂，这样便得出原函数在R上为减函数．

解答 证明：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则：
${y}_{1}-{y}_{2}=（-{{x}_{1}}^{3}-{x}_{1}）-（-{{x}_{2}}^{3}-{x}_{2}）$=$（{{x}_{2}}^{3}-{{x}_{1}}^{3}）+（{x}_{2}-{x}_{1}）$=$（{x}_{2}-{x}_{1}）（{{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}+1）$=$（{x}_{2}-{x}_{1}）[（{x}_{1}+\frac{1}{2}{x}_{2}）^{2}+\frac{3}{4}{{x}_{2}}^{2}+1]$；
∵x₁＜x₂；
∴x₂-x₁＞0，且$（{x}_{1}+\frac{1}{2}{x}_{2}）^{2}+\frac{3}{4}{{x}_{2}}^{2}+1＞0$；
∴y₁＞y₂；
∴原函数在R上是减函数．

点评 考查减函数的定义，利用减函数的定义证明一个函数为减函数的方法及过程，作差的方法比较两个变量的大小．