Question

函数y=f(x)是定义在［a，b］上的增函数，其中a，b∈R，且0＜b＜-a，已知y=f(x)无零点，设函数F(x)=f²(x)+f²(-x)，则对于F(x)有如下四个说法：

①定义域是［-b，b］；②是偶函数；

③最小值是0；④在定义域内单调递增.

其中正确的说法的个数有

A.4个                B.3个                C.2个                D.1个

Answer 1

C  ①函数F(x)=f²(x)+f²(-x),

∴∵-a＞b＞0,∴a＜-b＜0.∴-b≤x≤b.①正确.

②F(-x)=f²(-x)+f²(x)=F(x),∴F(x)为偶函数,②正确.

③∵f(x)在定义域上为增函数,且无零点,∴f(x)＞0恒成立,或f(x)＜0恒成立.

∴f²(x)＞0.同理f²(-x)＞0,③不正确.

④∵f(x)为定义域上的增函数,∴f(-x)为定义域上的减函数.设-b≤x₁＜x₂≤b,

F(x₁)-F(x₂)=f²(x₁)+f²(-x₁)-f²(x₂)-f²(-x₂)=［f²(x₁)-f²(x₂)］+［f²(-x₁)-f²(-x₂)］

=［f(x₁)+f(x₂)］［f(x₁)-f(x₂)］+［f(-x₁)+f(-x₂)］［f(-x₁)-f(-x₂)］.

∵x₁＜x₂,∴f(x₁)-f(x₂)＜0,-x₁＞-x₂,∴f(-x₁)-f(-x₂)＜0,

∴F(x₁)-F(x₂)的正负号取决于f(x₁)+f(x₂)与f(-x₁)+f(-x₂)的正负号,由题意两式可正可负,故F(x₁)-F(x₂)的正负号无法判断,故F(x)的单调性无法判断,④不正确.∴①②正确.