Question

【题目】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，四边形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，点M在线段EF上． （I）求证：BC⊥平面ACFE；
（II）当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：在梯形ABCD中， ∵AD=DC=CB=a，∠ABC=60°
∴四边形ABCD是等腰梯形，
且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°，
∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
又∵平面ACF⊥平面ABCD，交线为AC，∴BC⊥平面ACFE．
（Ⅱ）当EM= a时，AM∥平面BDF．
在梯形ABCD中，设AC∩BD=N，连接FN，则CN：NA=1：2．
∵EM= a而EF=AC= a，∴EM：FM=1：2．∴EM∥CN，EM=CN，
∴四边形ANFM是平行四边形．∴AM∥NF．
又NF平面BDF，AM平面BDF．∴AM∥平面BDF．

【解析】（Ⅰ）由已知，若证得AC⊥BC，则据面面垂直的性质定理即可．转化成在平面ABCD，能否有AC⊥BC，易证成立．（Ⅱ）设AC∩BD=N，则面AMF∩平面BDF=FN，只需AM∥FN即可．而CN：NA=1：2．故应有EM：FM=1：2
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题．