Question

已知数列{x_n}中，x1=1，xn+1=1+

xn

p+xn

(n∈N*，p是正常数)．
（Ⅰ）当p=2时，用数学归纳法证明xn＜

2

(n∈N*)
（Ⅱ）是否存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有x_M≥x_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出p=2时的表达式，利用数学归纳法的证明步骤，证明不等式，（1）验证n=1不等式成立；（2）假设n=k时成立，证明n=k+1时成立．
（Ⅱ）（1）验证n=1不等式成立；（2）假设n=k时成立，证明n=k+1时成立．

解答：证明：由x₁=1，xn+1=1+

xn

p+xn

知，x_n＞0（n∈N^*），
（Ⅰ）当p=2时，xn+1=1+

xn

2+xn

，
（1）当n=1时，x₁=1＜

2

，命题成立．
（2）假设当n=k时，xk＜

2

，
则当n=k+1时，xk+1=1+

xk

2+xk

=2-

2

2+xk

＜2-

2

2+ 2

=

2

，
即n=k+1时，命题成立．
根据（1）（2），xn＜

2

（n∈N^*）．（4分）
（Ⅱ）用数学归纳法证明，x_n+1＞x_n（n∈N^*）．
（1）当n=1时，x2=1+

x1

p+x1

＞1=x₁，命题成立．
（2）假设当n=k时，x_k+1＞x_k，
∵x_k＞0，p＞0，
∴

p

p+xk+1

＜

p

p+xk

，
则当n=k+1时，xk+1=1+

xk

p+xk

=2-

p

p+xk

＜2-

p

p+xk+1

=xk+2，
即n=k+1时，命题成立．
根据（1）（2），x_n+1＞x_n（n∈N^*）．（8分）
故不存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有x_M≥x_n．（10分）

点评：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤，注意证明的过程两步骤缺一不可，注意形式的一致性，考查计算能力．