Question

设函数f（x）=x³+ax²-a²x+m（a≥0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要求函数f（x）的单调区间，即求函数f（x）的f′（x），在根据导数与单调性的关系求解即可
（Ⅱ）要使函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根即可
（Ⅲ）要求对任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，只需求当x∈[-2，2]时f（x）_max≤1，即m≤9-4a-2a²在a∈[3，6]上恒成立，即求9-4a-2a²在a∈[3，6]的最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x²+2ax-a²=3(x-

a

3

)(x+a)
当a=0时f′（x）≥0
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）
当a＞0时
由f′（x）＞0得x＜-a或x＞

a

3

，
由f′（x）＜0得-a＜x＜

a

3

，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a），(

a

3

，+∞)，
单调递减区间为(-a，

a

3

)
（Ⅱ）当a=0时由（1）知函数f（x）在[-1，1]上单调递增，
则f（x）在[-1，1]上没有极值点；
当a＞0时∵f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-

a

3

)(x+a)
由（1）知f（x）在(-∞，-a)，(

a

3

，+∞)上单调递增，
在(-a，

a

3

)上单调递减；则要f（x）在[-1，1]上没有极值点，
则只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根．∴

f′(-1)≤0 f′(1)≤0

，解得a≥3
综上述可知：a的取值范围为[3，+∞）∪{0}
（Ⅲ）∵a∈[3，6），
∴

a

3

∈[1，2)，-a≤-3
又x∈[-2，2]
由（1）的单调性质知f（x）_max=max{f（-2），f（2）}
而f（2）-f（-2）=16-4a²＜0
∴f（x）_max=f（-2）=-8+4a+2a²+m
∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x）_max≤1即-8+4a+2a²+m≤1
即m≤9-4a-2a²在a∈[3，6]上恒成立，
∵9-4a-2a²的最小值为-87
∴m≤-87
故答案为（Ⅰ）当a=0时f′（x）≥0，
函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），
当a＞0时函数f（x）的单调递增区间为(-∞，-a)，(

a

3

，+∞)，
单调递减区间为(-a，

a

3

)，
（Ⅱ）a的取值范围为：[3，+∞）∪{0}，
（Ⅲ）m的取值范围为：m≤-87．

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，函数在某点取得极值的条件，还考查了变量分离的思想方法，属于基础题．