精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
设复数z1,z2在复平面上(O为原点)对应的点分别为Z1(sinθ,1),Z2(1,cosθ),其中-
π
2
<θ<
π
2

(1)若
oz1
0z2
,求θ;
(2)若
oz
=
oz1
+
0z2
,求点Z的轨迹的普通方程;并作出轨迹示意图.
(3)求|OZ1+OZ2|的最大值.
分析:(1)根据两个向量之间的垂直关系,得到对应的向量的数量积等于0,得到关于三角函数的等式,求出正切值,根据角的范围得到角的大小.
(2)根据复数相等的充要条件,写出复数的实部和虚部分别相等,得到关于三角函数的等式,去掉字母参数,得到圆的方程,根据三角函数做出x,y的范围,画出图形.
(3)要求模长的最值.需要根据所给的复数的表示形式,求出复数的模长的表示式,根据三角函数的最值的求法,得到复数的模长的最值.
解答:2解(1)∵由
oz1
0z2
,知
oz1
0z2
=0
∴sinθ+cosθ=0
∴tanθ=-1      
∵-
π
2
<θ<
π
2

θ=
π
4

(2)设Z(x,y)
则有(x,y)=(sinθ,1)+(1,cosθ)        
=(1+sinθ,1+cosθ)
x=1+sinθ
y=1+cosθ
,中-
π
2
<θ<
π
2


消去θ得:(x-1)2+(y-1)2=1(1<y≤2)
(3)|OZ1+OZ2|=
(1+sinθ)2+(1+cosθ)2

3+2
2
sin(θ+
π
4
)

∵-
π
2
<θ<
π
2

-
π
4
<θ+
π
4
4
       
∴-
2
2
<sin(θ+
π
4
)≤1

可求得|OZ1+OZ2|的最大值为
2
+1
点评:本题考查复数与向量的综合题目,考查复数的几何意义,考查三角函数的最值和恒等变形,本题解题的关键是题目的每一个环节都不是难题,但是容易在这种小的细节处出错,本题是一个易错题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知x,y∈R,且复数z1=x+y-30-xyi和复数z2=-|x+yi|+60i是共轭复数,设复数z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B,又O为坐标原点,求△OAB的面积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设复数z1,z2在复平面上对应的点分别为A,B,且|z1|=4,4z12-2z1z2+z22=0,O为坐标原点,则△OAB的面积为(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•湖北)i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=
-2+3i
-2+3i

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•黄浦区二模)已知复数z1=sinx+λi,z2=(sinx+
3
cosx)-i
(λ,x∈R,i为虚数单位).
(1)若2z1=z2i,且x∈(0,π),求x与λ的值;
(2)设复数z1,z2在复平面上对应的向量分别为
OZ1
OZ2
,若
OZ1
OZ2
,且λ=f(x),求f(x)的最小正周期和单调递减区间.

查看答案和解析>>

同步练习册答案