Question

【题目】已知函数f（x）=aln（x+1）+x2+1，g（x）=﹣x2﹣2mx+4．

（1）当a＞0时，求曲线y=f（x）的切线斜率的取值范围；

（2）当a=﹣4时，若存在x1∈[0，1]，x2∈[1，2]，满足f（x1）≥g（x2），求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) [2，+∞）;(2).

【解析】

(1) 函数f′（x）=+2x=根据均值不等式得到最小值为2﹣2，从而得到结果；（2）存在x1∈[0，1]，x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），所以只要f（x）在x∈[0，1]上的最大值大于等于g（x）在x∈[1，2]的最小值即可.

（1）函数f（x）=aln（x+1）+x2+1的定义域为（﹣1，+∞），

∴f′（x）=+2x= =2﹣2，

当且仅当即x=∈（﹣1，+∞）时取“=”

所以函数y=f（x）图象上任一点处切线斜率的取值范围为[2，+∞）．

（2）函数f（x）=﹣4ln（x+1）+x2+1（x＞﹣1），

∴f′（x）=+2x=，

当x∈[0，1]时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，

所以f（x）在[0，1]上最大值为f（0）=1，

因为存在x1∈[0，1]，x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），

所以只要f（x）在x∈[0，1]上的最大值大于等于g（x）在x∈[1，2]的最小值即可，

只要g（1）≤1或g（2）≤1，

即﹣1﹣2m+4≤1或﹣4﹣4m+4≤1，

解得m．