Question

已知椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），离心率e=，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，过椭圆的左焦点F₁且垂直于长轴的直线交椭圆于M、N两点，且|MN|=．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知直线l与椭圆相交于P，Q两点，O为原点，且OP⊥OQ．试探究点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率和通径的长度，结合a²=b²+c²联立求出a，b的值，则椭圆的方程可求；
（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设出直线方程的斜截式，和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出两交点横坐标的和与积，从而求出纵坐标的乘积，利用OP⊥OQ得到x₁x₂+y₁y₂=0，把坐标乘积代入后求得m和k的关系，求出点O到直线l的距离，整体代入后可求得距离为定值，当斜率不存在时，直接求解P和Q的坐标，也能得到距离是相同的定值．
解答：解：（Ⅰ）因为，所以    ①
因为过椭圆的左焦点F₁且垂直于长轴的直线交椭圆于M、N两点，且，
经计算得    ②
由a²=b²+c²，解①②得
，b=1，c=1，
所以椭圆的方程为；
（Ⅱ）1°当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y=kx+m，点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由，联立得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0
所以△=8（2k²+1-m²）＞0
，
于是y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=
因为OP⊥OQ，所以x₁x₂+y₁y₂=0
即
所以
此时满足条件，
设原点O到直线l的距离为d，
则．
2°当直线l的斜率不存在时，
因为OP⊥OQ，根据椭圆的对称性，不妨设直线OP、OQ的方程分别为y=x，y=-x，
可得，或，，
此时原点O到直线l的距离仍为，
综上可得，原点O到直线l的距离为．
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的位置关系，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用二次方程根与系数的关系解决有关问题，考查了学生的计算能力，是难题．