Question

对于△ABC，总满足：

CD

=sin²θ

CA

+cos²θ

CB

，

CD

•

AB

=

3

|AB|²，且

1

tan∠A

-

1

tan∠B

-

2

tan∠BDC

=1恒成立，则：
①△ABC一定是钝角三角形；②CA＜CB；③?x∈R，θ=x；
④∠ADC的最小值小于30°；⑤CD可能是一条中线；⑥∠C的最大值小于30°．
上述对于△ABC的描述错误的是：

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：对于△ABC，由

CD

=sin²θ

CA

+cos²

CB

，sin²θ+cos²θ=1，可得点D在线段AB上．过点C作CE⊥AB，垂足为点E．由

CD

•

AB

=

3

|AB|²，可得|

DE

|=

3

|

AB

|．可知：点E在线段BA的延长线上．因此∠CAB一定是钝角，CA＜CB，且

1

tan∠A

-

1

tan∠B

-

2

tan∠BDC

=1恒成立，则点D不能与点B重合，因此θ≠kπ（k∈Z）．
|

DE

|=

3

|

AB

|，不妨取AB=1，则DE=

3

．tanA=

CE

AE

，tanB=

CE

EA+AB

=

CE

EA+1

，tan∠BDC=-

CE

ED

=-

CE

3

，利用

1

tan∠A

-

1

tan∠B

-

2

tan∠BDC

=1恒成立，可得CE=2

3

-1．即可判断出．

解答： 解：对于△ABC，由

CD

=sin²θ

CA

+cos²

CB

，sin²θ+cos²θ=1，可得点D在线段AB上．
过点C作CE⊥AB，垂足为点E．
由

CD

•

AB

=

3

|AB|²，可得|

CD

||

AB

|cos（π-∠CDB）=

3

|

AB

|2，∴|

CD

|cos∠CDA=

3

|

AB

|，∴|

DE

|=

3

|

AB

|．
可知：点E在线段BA的延长线上．因此∠CAB一定是钝角，CA＜CB，
且

1

tan∠A

-

1

tan∠B

-

2

tan∠BDC

=1恒成立，则点D不能与点B重合，因此θ≠kπ（k∈Z）．
∵|

DE

|=

3

|

AB

|，不妨取AB=1，则DE=

3

．
tanA=

CE

AE

，tanB=

CE

EA+AB

=

CE

EA+1

，tan∠BDC=-

CE

ED

=-

CE

3

，
∵

1

tan∠A

-

1

tan∠B

-

2

tan∠BDC

=1恒成立，
∴

AE-EA-1

CE

+

2 3

CE

=1，解得CE=2

3

-1．
∴tan∠ADC=

2 3 -1

3

＞

1

3

，∴∠ADC的最小值大于30°，
∠C的最大值大于30°，CD可能是一条中线．
综上可得：③④⑥错误．
故答案为：③④⑥．

点评：本题考查了向量共线定理、数量积运算、直角三角形的边角关系、正切函数，考查了推理能力与计算能力，属于难题．