考点:利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性
专题:导数的综合应用
分析:(Ⅰ)求f′(x),通过对f′(x)的判断,得到f(x)在(0,+∞)上的极大值为f(1)=1,该值也是最大值;
(Ⅱ)由原不等式得:k≤
,令g(x)=
,求g(x)在[1,+∞)上的最小值即可.求g′(x)=
,能够判断函数x-lnx在[1,+∞)上是增函数,最小值为1>0.所以在得到x≥1时g′(x)>0,所以g(x)在[1,+∞)上是增函数,最小值为g(1)=2,所以k≤2,所以k的取值范围是(-∞,2].
解答:
解:(Ⅰ)函数f (x)定义域为(0,+∞),f′(x)=
-;
当0<x<1时,f′(x)>0,当x>1时,f′(x)<0;
∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;
∴函数f (x)在x=1处取得极大值,也是最大值1;
(Ⅱ)由原不等式得:
k≤,令g(x)=
,则:
g′(x)=
,令h(x)=x-lnx,则:
h′(x)=1
-,∴x≥1时,h′(x)≥0,即h(x)在[1,+∞)上单调递增,∴h(x)≥h(1)=1>0;
∴x≥1时,g′(x)>0;
∴g (x)在[1,+∞)上单调递增,g(x)在[1,+∞)上的最小值为g(1)=2;
因此,k≤2,即实数k的取值范围为(-∞,2].
点评:考查函数导数符号和函数单调性的关系,极大值的概念,以及根据函数的单调性求最小值.