Question

设x₁，x₂分别是函数f（x）=-2x³+3（1-2a）x²+12ax-1的极小值点和极大值点．已知

x

2 1

=x₂，求a的值及函数的极值．

Answer 1

分析：求导函数，利用x₁，x₂分别是函数的极小值点和极大值点，结合韦达定理及

x

2 1

=x₂，可得函数解析式，确定函数的单调性，进而可求函数的极值．

解答：解：求导函数可得：f′（x）=-6x²+6（1-2a）x+12a，
∵x₁，x₂分别是函数的极小值点和极大值点
∴x₁+x₂=1-2a，x₁x₂=-2a，所以x₁+x₂-x₁x₂=-1-2a+2a=1，即（x₁-1）+x₂（1-x₁）=0，
所以（x₁-1）（1-x₂）=0
∵

x

2 1

=x₂，
∴x₁=1，
∴x₂=1，a=

1

2

∴f（x）=-2x³+6x-1，f′（x）=-6（x+1）（x-1），
令f′（x）＞0可得-1＜x＜1，令f′（x）＜0可得x＜-1或x＞1，
∴函数在（-1，1）上单调增，在（-∞，-1），（1，+∞）上单调减
∴当x=-1时，函数取得极小值f（-1）=2-6-1=-5；当x=1时，函数取得极大值f（1）=-2+6-1=3．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的解析式，解题的关键是根据函数的极值点确定函数的解析式．