Question

【题目】如图，四棱猪ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，A1A=AB=2，E为棱AA1的中点．

（1）证明：B1C1⊥CE；
（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵四棱锥ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，

AD=CD=1，A1A=AB=2，E为棱AA1的中点．

∴以点A为原点，AD，AA1，AB分别为x，y，zlm，建立空间直角坐标系，如图，

依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．

则 =（1，0，﹣1）， =（﹣1，1，﹣1），

∵ =（1，0，﹣1）（﹣1，1，﹣1）=0．

∴B1C1⊥CE．

（2）

解： =（1，﹣2，﹣1），

设平面B1CE的法向量为 =（x，y，z），

则 ，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．∴ =（﹣3，﹣2，1）．

由（1）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，∴B1C1⊥平面CEC1，

故 =（1，0，﹣1）为平面CEC1的一个法向量，

cos＜ ＞= = =﹣ ，

∵二面角B1﹣CE﹣C1的平面角为锐角，

∴二面角B1﹣CE﹣C1的余弦值为 ．

【解析】（1）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出 和 ，由 =0得到B1C1⊥CE；（2）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，由此能求出二面角B1﹣CE﹣C1的余弦值．