Question

【题目】（1）已知x＞0，y＞0，x+y+xy=8，则x+y的最小值？

（2）已知不等式的解集为{x|a≤x＜b}，点（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中m，n＞0，若对任意满足条件的m，n，恒有成立，则λ的取值范围？

Answer 1

【答案】(1)4 (2)（﹣∞，9]

【解析】

（1）直接利用基本不等式的性质求解即可；

（2）根据方程与不等式的关系求解出a，b的值，点（a，b）在直线mx+ny+1=0上，得到2m+n=1，再与相乘然后利用基本不等式的性质即可得到λ的取值范围。

（1）∵x＞0，y＞0，

∴，当且仅当x=y时取等号

由x+y+xy=8，

可得：8﹣（x+y）≤．

令x+y=t．（t＞0）．

得8﹣t≤，（t＞0）.

解得：t≥4，

即x+y≥4．

故x+y的最小值为4．

（2）由不等式的解集为{x|a≤x＜b}，

可得方程（x+2）（x+1）=0的两个根=a=﹣2，=b=﹣1．

∵点（a，b）在直线mx+ny+1=0上，

得：﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1．

对任意满足条件的m，n，恒有成立，

则：．当且仅当n=m时取等号．

∴λ≤9．

即λ的取值范围是（﹣∞，9]．