【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 满足Sn=2﹣an(n∈N*).数列{bn}满足(2n﹣1)bn+1﹣(2n+1)bn=0(n∈N*),且b1=1.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)设cn=anbn , 求数列{cn}的前n项和为Tn .
【答案】
(1)解:数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2﹣an(n∈N*).
得到:Sn+1=2﹣an+1,
则:an+1=an﹣an+1,
整理得:
所以:数列{an}是以1为首项, 为公比的等比数列
则: .
数列{bn}满足(2n﹣1)bn+1﹣(2n+1)bn=0(n∈N*),
则: ,
所以:数列{ }是常数列.
则:{bn}的通项公式为:bn=2n﹣1
(2)解:由(1)得:
cn=anbn= ,
则: +…+ ①
所以: +…+ ②
则:①﹣②得: )﹣ ,
整理得:Tn=
【解析】(1)根据an=Sn+1Sn可得出=,从而确定数列是一个等比数列;构造数列可求出bn;(2)利用错位相减法求和法即可.
【考点精析】本题主要考查了等比关系的确定和数列的前n项和的相关知识点,需要掌握等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断;数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题.
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【题目】在某城市气象部门的数据中,随机抽取了100天的空气质量指数的监测数据如表:
空气质量指数t | (0,50] | (50,100] | (100,150] | (150,200] | (200,300] | (300,+∞) |
质量等级 | 优 | 良 | 轻微污染 | 轻度污染 | 中度污染 | 严重污染 |
天数K | 5 | 23 | 22 | 25 | 15 | 10 |
(1)在该城市各医院每天收治上呼吸道病症总人数y与当天的空气质量t(t取整数)存在如下关系y= ,且当t>300时,y>500估计在某一医院收治此类病症人数超过200人的概率;
(2)若在(1)中,当t>300时,y与t的关系拟合于曲线 ,现已取出了10对样本数据(ti , yi)(i=1,2,3,…,10),且 =42500, =500,求拟合曲线方程. (附:线性回归方程 =a+bx中,b= ,a= ﹣b )
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【题目】已知圆C经过A(﹣2,1),B(5,0)两点,且圆心C在直线y=2x上.
(1)求圆C的方程;
(2)动直线l:(m+2)x+(2m+1)y﹣7m﹣8=0过定点M,斜率为1的直线m过点M,直线m和圆C相交于P,Q两点,求PQ的长度.
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【题目】设等差数列{an}的前n项和为S,a2+a6=20,S5=40.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设等比数列{bn}满足b2=a3 , b3=a7.若b6=ak , 求k的值.
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【题目】设点P为有公共焦点F1 , F2的椭圆和双曲线的一个交点,且cos∠F1PF2= ,椭圆的离心率为e1 , 双曲线的离心率为e2 , 若e2=2e1 , 则e1=( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知数列{an}的各项均为正数,满足a1=1,ak+1﹣ak=ai . (i≤k,k=1,2,3,…,n﹣1)
(1)求证: ;
(2)若{an}是等比数列,求数列{an}的通项公式;
(3)设数列{an}的前n项和为Sn , 求证: .
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【题目】轮船A从某港口O将一些物品送到正航行的轮船B上,在轮船A出发时,轮船B位于港口O北偏西30°且与O相距20海里的P处,并正以30海里/小时的航速沿正东方向匀速行驶,假设轮船A沿直线方向以V海里/小时的航速匀速行驶,经过t小时与轮船B相遇.
(1)若使相遇时轮船A航距最短,则轮船A的航行速度大小应为多少?
(2)假设轮船A的最高航行速度只能达到30海里/小时,则轮船A以多大速度及什么航行方向才能在最短时间与轮船B相遇,并说明理由.
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【题目】某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制,发布成绩使用等级制.各等级划分标准如下:85分及以上,记为A等;分数在[70,85)内,记为B等;分数在[60,70)内,记为C等;60分以下,记为D等.同时认定A,B,C为合格,D为不合格.已知某学校学生的原始成绩均分布在[50,100]内,为了了解该校学生的成绩,抽取了50名学生的原始成绩作为样本进行统计,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出样本频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)求图中x的值,并根据样本数据估计该校学生学业水平测试的合格率;
(Ⅱ)在选取的样本中,从70分以下的学生中随机抽取3名学生进行调研,用X表示所抽取的3名学生中成绩为D等级的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.
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