Question

已知函数f(x)=sin(2x+

π

3

)+sin(2x-

π

3

)+2cos2x+a-1（a为常数），若函数f（x）的最大值为

2

+1．
（1）求实数a的值；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移

3

8

π个单位，再向下平移2个单位得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）利用两角和及差的正弦对函数化简可得，f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)+a，由f(x)max=

2

+1可得a+

2

=

2

+1，可求a
（2）由g(x)=f(x+

3

8

π)-2=-

2

sin2x-1，要求函数g（x）的单调递减区间，只要求y=sin2x的单调递增区间即可，令-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ，k∈Z可求

解答：解：（1）∵得f(x)=sin2xcos

π

3

+sin

π

3

cos2x+sin2xcos

π

3

-sin

π

3

cos2x+cos2x+a
=sin2x+cos2x+a
∴f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)+a，…（4分）
由f(x)max=

2

+1得a=1．…（3分）
（2）∵g(x)=f(x+

3

8

π)-2=-

2

sin2x-1，…（4分）
令-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ，k∈Z
∴-

π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ，k∈Z
∴函数的单调递减区间为[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]，k∈Z．…（3分）

点评：本题考查两角和与差的正弦公式及辅助角公式的应用，正弦函数的单调区间的求解．