Question

某公司将进一批单价为7元的商品，若按每个10元销售，每天可卖出100个；若每个商品的销售价上涨1元，则每天的销售量就减少10个．
（1）设每个商品的销售价上涨x元（x≥0，x∈N），每天的利润为y元，试写出函数y=f（x）的表达式，并指明函数的定义域；
（2）当每个商品的销售价定为多少时，每天的利润最大？并求出此最大值．

Answer 1

分析：（1）设商品的销售价每个上涨x（x∈N₊）元，则商品销售单价为（x+10）元，单个利润为（x+10-7），日销售量应减少10x个，从而可得y关于x的函数关系式；
（2）根据（1）中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，可得函数的最大值，即最大利润．

解答：解：（1）每个商品的销售价上涨x元时，每天的销售量则为（100-10x）个，…（2分）
每天的利润为y=（10+x-7）（100-10x），…（5分）
即：y=10（-x²+7x+30），
其定义域为{x|0≤x≤10，x∈N}…（7分）
（2）y=10(-x2+7x+30)=-10(x-

7

2

)2+

1690

4

，…（10分）
因为0≤x≤10，x∈N，所以当x=3或x=4时，
每天的利润最大，y_max=420…（13分）
答：每个商品的销售价定为13元时，每天的利润达到最大，最大值为420元．…（14分）

点评：本题考查利润、销售量、单价间的关系，将实际问题转化为二次函数的最值问题，应掌握数形结合法求二次函数的最值．