Question

在直角坐标系中，O为坐标原点，已知动圆与直线x=-1相切，且过定点F（1，0），动圆圆心为M．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）若过点F（1，0）的直线L与曲线C交于A，B两点，又点Q（-1，0），求△（3）QAB面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意知：|MN|=|MF|，根据抛物线的定义得，M的轨迹为以F为焦点的抛物线，且 p=2，从而写出抛物线的方程．
（2）当L的斜率不存在时，求出三角形QAB面积，当L的斜率存在时，用点斜式设出L的方程代入抛物线方程，依据根与系数的关系、弦长公式求出|AB|值，Q到L的距离d，代入三角形QAB面积公式并使用基本不等式求出它的最小值．

解答：解：（1）由题意知：|MN|=|MF|，根据抛物线的定义得，M的轨迹为以F为焦点的抛物线，且 p=2，所以M的轨迹C的方程为y²=4x．
（2）当L的斜率不存在时，L：x=1，?A（1，2），B（1，-2），?s△QAB=

1

2

|AB||QF|=4
当L的斜率存在时，可设为K（K≠0），则L：y=K（x-1），与抛物线联立得

y=K(x-1) y2=4x

?x2-(2+

4

K2

)x+1=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AB|=

(1+K2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4(1+K2)

K2

，又Q到L的距离d=

2|K|

K2+1

，?s△QAB=

1

2

d|AB|=

4 K2+1

|K|

=4

1+ 1 K2

＞4，所以，三角形QAB面积的最小值为4．

点评：本题考查抛物线的定义、标准方程，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，求出|AB|值是解题的关键和难点．