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如图,ABCD是正方形,O是该正方形的中心,P是平面ABCD外一点,PO⊥底面ABCD,E是PC的中点.求证:
(1)PA∥平面BDE;
(2)平面EBD⊥平面PAC;
(3)若PA=AB=4,求四棱锥P-ABCD的全面积.

【答案】分析:(1)利用正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明;
(2)利用线面垂直的性质、正方形的性质、面面垂直的判定定理即可得出.
(3)利用已知可得△PAB≌△PBC≌△PCD≌△PDA.的等边三角形,再利用正三角形的面积公式、正方形的面积公式即可得出.
解答:(1)证明:如图所示,连接OE,∵O是正方形ABCD的中心,∴OC=OA,
∵E是PC的中点.∴CE=EP.
∴OE∥AP,
∵PA?平面BDE,OE?平面BDE,
∴PA∥平面BDE;
(2)证明:∵PO⊥底面ABCD,∴PO⊥BD.
由正方形可得:BD⊥AC,
又PO∩AC=O,∴BD⊥平面PAC.
而BD?BED,∴平面BED⊥平面PAC.
(3)∵PO⊥底面ABCD,OA=OB,∴PA==PB,同理,PB=PC=PD.
∵PA=AB,∴△PAB是等边三角形,且△PAB≌△PBC≌△PCD≌△PDA.
=16,=4
∴四棱锥P-ABCD的全面积=S正方形ABCD+4S△PAB=16+16
点评:熟练掌握正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、线面垂直的性质、正方形的性质、面面垂直的判定定理、等边三角形的面积公式等是解题的关键.
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60°
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3
3
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