Question

（2012•安徽模拟）设函数f（x）=x³-x²-ax（a∈R）．
（I）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（II）若函数f（x）的图象上存在与x轴平行的切线，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求导数f′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1），进而可列表研究函数的单调性，从而确定极值；
（II）根据切线与横轴平行，对函数求导，使得到函数等于0有实根，得到关于一元二次方程的判别式，求出结果．

解答：解：（I）∵f′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1）．
由f'（x）=0，得x=1或x=-

1

3

，如下表

∴f（x）在x=-

1

3

取得极大值为f（-

1

3

）=

5

27

；f（x）在x=1取得极小值为f（1）=-1．
（II）∵f'（x）=3x²-2x-a．
∵函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，∴f'（x）=0有实数解．   …（10分）
∴△=（-2）²-4×3×（-a）≥0，
∴a≥-

1

3

，即 a≥-

1

3

．
因此，所求实数a的取值范围是（-

1

3

，+∞）            …（12分）

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查利用导数求函数的极值，考查学生分析解决问题的能力．