分析 (1)连接BE,OE,由已知得∠ABC=90°=∠AEB,∠A=∠A,从而△AEB∽△ABC,进而∠ABE=∠C,进而∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°,由此能证明DE是圆O的切线,利用∠EDO=30°,求∠AOD;
(2)DM=OD-OM=$\frac{1}{2}$(AC-AB),从而DM•AC+DM•AB=$\frac{1}{2}$(AC-AB)•(AC+AB)=$\frac{1}{2}$BC2,由此能证明DE•BC=DM•AC+DM•AB.
解答 (1)解:连接BE,OE.
∵AB是直径,∴∠AEB=90°,
∵∠ABC=90°=∠AEB,∠A=∠A,∴△AEB∽△ABC,
∴∠ABE=∠C,
∵BE⊥AC,D为BC的中点,∴DE=BD=DC,
∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO,∠DBE=∠DEB,
∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°,
∴∠OED=90°,∴DE是圆O的切线.
∵∠EDO=30°,
∴∠DBE=∠DEB=∠A=60°,
∴∠AOD=120°;
(2)证明:∵O、D分别为AB、BC的中点,
∴DM=OD-OM=$\frac{1}{2}$(AC-AB),
∴DM•AC+DM•AB
=DM•(AC+AB)
=$\frac{1}{2}$(AC-AB)•(AC+AB)
=$\frac{1}{2}$(AC2-AB2)
=$\frac{1}{2}$BC2
=DE•BC.
∴DE•BC=DM•AC+DM•AB.
点评 本题考查DE•BC=DM•AC+DM•AB的证明,考查学生分析解决问题的能力,是中档题,解题时要认真审题,注意弦切角定理的合理运用.
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A. | 2k-$\frac{1}{4}$(k∈Z) | B. | 2k+$\frac{1}{4}$(k∈Z) | C. | 2k或2k-$\frac{1}{4}$(k∈Z) | D. | 2k或2k+$\frac{1}{4}$(k∈Z) |
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A. | $\frac{1}{30}$ | B. | $\frac{1}{15}$ | C. | $\frac{1}{10}$ | D. | $\frac{1}{5}$ |
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A. | 32 | B. | 36 | C. | 48 | D. | 64 |
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A. | 6 | B. | $6+2\sqrt{3}$ | C. | $8+8\sqrt{2}$ | D. | $4+4\sqrt{2}$ |
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